Ano ang mga fractals: ang kagandahan ng matematika at kawalang-hanggan

2024 May -akda: Seth Attwood | [email protected]. Huling binago: 2023-12-16 16:18

Ang mga fractals ay kilala sa loob ng isang siglo, napag-aralan nang mabuti at may maraming aplikasyon sa buhay. Gayunpaman, ang hindi pangkaraniwang bagay na ito ay batay sa isang napaka-simpleng ideya: maraming mga hugis, walang katapusan sa kagandahan at pagkakaiba-iba, ay maaaring makuha mula sa medyo simpleng mga istraktura gamit lamang ang dalawang operasyon - pagkopya at pag-scale.

Ano ang pagkakatulad ng isang puno, dalampasigan, ulap, o mga daluyan ng dugo sa ating kamay? Sa unang tingin, maaaring mukhang ang lahat ng mga bagay na ito ay walang pagkakatulad. Gayunpaman, sa katunayan, mayroong isang pag-aari ng istraktura na likas sa lahat ng mga nakalistang bagay: sila ay magkatulad sa sarili. Mula sa sanga, pati na rin mula sa puno ng puno, mayroong mas maliliit na sanga, mula sa kanila - kahit na mas maliit, atbp., iyon ay, ang sanga ay tulad ng buong puno.

Ang sistema ng sirkulasyon ay nakaayos sa isang katulad na paraan: ang mga arteriole ay umalis mula sa mga arterya, at mula sa kanila - ang pinakamaliit na mga capillary kung saan ang oxygen ay pumapasok sa mga organo at tisyu. Tingnan natin ang mga satellite images ng baybayin ng dagat: makikita natin ang mga look at peninsulas; tingnan natin ito, ngunit mula sa isang mata ng ibon: makikita natin ang mga look at kapa; Ngayon isipin natin na nakatayo tayo sa dalampasigan at tumitingin sa ating mga paa: palaging may mga maliliit na bato na nakausli sa tubig nang higit pa kaysa sa iba.

Ibig sabihin, ang baybayin ay nananatiling katulad ng sarili nito kapag naka-zoom in. Tinawag ng Amerikanong (bagaman pinalaki sa France) ang matematiko na si Benoit Mandelbrot ang pag-aari na ito ng fractality ng mga bagay, at ang mga naturang bagay mismo ay mga fractals (mula sa Latin na fractus - nasira).

Ano ang isang fractal?

Ang konseptong ito ay walang mahigpit na kahulugan. Samakatuwid, ang salitang "fractal" ay hindi isang termino sa matematika. Karaniwan, ang fractal ay isang geometric figure na nakakatugon sa isa o higit pa sa mga sumusunod na katangian: • Ito ay may kumplikadong istraktura sa anumang paglaki (kumpara sa, halimbawa, isang tuwid na linya, ang anumang bahagi nito ay ang pinakasimpleng geometric figure - a segment ng linya). • Ay (humigit-kumulang) kapareho sa sarili. • May fractional na Hausdorff (fractal) na dimensyon, na mas malaki kaysa sa topological. • Maaaring itayo gamit ang mga recursive procedure.

Geometry at Algebra

Ang pag-aaral ng mga fractal sa pagliko ng ika-19 at ika-20 siglo ay sa halip ay episodiko kaysa sistematiko, dahil ang mga naunang matematiko ay pangunahing nag-aral ng "magandang" mga bagay na pumapayag sa pagsasaliksik gamit ang mga pangkalahatang pamamaraan at teorya. Noong 1872, ang German mathematician na si Karl Weierstrass ay gumawa ng isang halimbawa ng tuluy-tuloy na function na wala saanman naiba. Gayunpaman, ang pagtatayo nito ay ganap na abstract at mahirap unawain.

Samakatuwid, noong 1904, ang Swede na si Helge von Koch ay nag-imbento ng isang tuluy-tuloy na kurba, na walang tangent kahit saan, at ito ay medyo simple upang gumuhit. Ito ay naka-out na ito ay may mga katangian ng isang fractal. Ang isa sa mga variant ng curve na ito ay tinatawag na "Koch snowflake".

Ang mga ideya ng pagkakatulad sa sarili ng mga numero ay kinuha ng Pranses na si Paul Pierre Levy, ang hinaharap na tagapagturo ng Benoit Mandelbrot. Noong 1938, inilathala niya ang kanyang artikulong "Eroplano at spatial na mga kurba at ibabaw, na binubuo ng mga bahaging katulad ng kabuuan", na naglalarawan ng isa pang fractal - ang Lévy C-curve. Ang lahat ng nasa itaas na fractals ay maaaring may kondisyong maiugnay sa isang klase ng constructive (geometric) fractals.

Ang isa pang klase ay dynamic (algebraic) fractals, na kinabibilangan ng Mandelbrot set. Ang mga unang pag-aaral sa direksyong ito ay nagsimula sa simula ng ika-20 siglo at nauugnay sa mga pangalan ng mga Pranses na matematiko na sina Gaston Julia at Pierre Fatou. Noong 1918, ang halos dalawang-daang-pahinang memoir ni Julia, na nakatuon sa mga pag-ulit ng mga kumplikadong rational function, ay nai-publish, kung saan inilarawan ang mga set ni Julia - isang buong pamilya ng mga fractals na malapit na nauugnay sa set ng Mandelbrot. Ang gawaing ito ay ginawaran ng premyo ng French Academy, ngunit hindi ito naglalaman ng isang solong paglalarawan, kaya imposibleng pahalagahan ang kagandahan ng mga bagay na natuklasan.

Sa kabila ng katotohanan na ang gawaing ito ay niluwalhati si Julia sa mga mathematician noong panahong iyon, mabilis itong nakalimutan. Pagkalipas lang ng kalahating siglo, muling nabigyang pansin ang mga computer: sila ang nagpakita ng yaman at kagandahan ng mundo ng mga fractals.

Mga sukat ng fractal

Tulad ng alam mo, ang dimensyon (bilang ng mga sukat) ng isang geometric na figure ay ang bilang ng mga coordinate na kinakailangan upang matukoy ang posisyon ng isang punto na nakahiga sa figure na ito.

Halimbawa, ang posisyon ng isang punto sa isang kurba ay tinutukoy ng isang coordinate, sa isang ibabaw (hindi kinakailangang isang eroplano) ng dalawang coordinate, sa tatlong-dimensional na espasyo ng tatlong coordinate.

Mula sa isang mas pangkalahatang pananaw sa matematika, maaari mong tukuyin ang dimensyon sa ganitong paraan: ang pagtaas ng mga linear na dimensyon, sabihin nating, dalawang beses, para sa isang-dimensional (mula sa topological na pananaw) na mga bagay (segment) ay humahantong sa pagtaas ng laki (haba) dalawang beses, para sa dalawang-dimensional (parisukat) ang parehong pagtaas sa mga linear na sukat ay humahantong sa isang pagtaas sa laki (lugar) ng 4 na beses, para sa tatlong-dimensional (kubo) - ng 8 beses. Iyon ay, ang dimensyon na "tunay" (tinatawag na Hausdorff) ay maaaring kalkulahin bilang ratio ng logarithm ng pagtaas sa "laki" ng isang bagay sa logarithm ng pagtaas sa linear na laki nito. Iyon ay, para sa segment D = log (2) / log (2) = 1, para sa eroplano D = log (4) / log (2) = 2, para sa volume D = log (8) / log (2) = 3.

Kalkulahin natin ngayon ang dimensyon ng Koch curve, para sa pagtatayo kung saan ang segment ng yunit ay nahahati sa tatlong pantay na bahagi at ang gitnang pagitan ay pinalitan ng isang equilateral triangle na walang segment na ito. Sa pagtaas ng mga linear na sukat ng minimum na segment ng tatlong beses, ang haba ng Koch curve ay tumataas sa log (4) / log (3) ~ 1, 26. Iyon ay, ang dimensyon ng Koch curve ay fractional!

Agham at sining

Noong 1982, ang aklat ni Mandelbrot na "The Fractal Geometry of Nature" ay nai-publish, kung saan ang may-akda ay nakolekta at na-systematize ang halos lahat ng impormasyong magagamit sa oras na iyon tungkol sa mga fractals at ipinakita ito sa isang madali at naa-access na paraan. Sa kanyang pagtatanghal, ginawa ni Mandelbrot ang pangunahing diin hindi sa masalimuot na mga pormula at mga konstruksyon sa matematika, ngunit sa geometric na intuwisyon ng mga mambabasa. Salamat sa mga guhit na binuo ng computer at mga kwentong pangkasaysayan, kung saan mahusay na natunaw ng may-akda ang pang-agham na bahagi ng monograph, ang libro ay naging isang bestseller, at ang mga fractals ay naging kilala sa pangkalahatang publiko.

Ang kanilang tagumpay sa mga hindi mathematician ay higit sa lahat dahil sa ang katunayan na sa tulong ng napakasimpleng mga konstruksyon at mga formula na mauunawaan ng isang mag-aaral sa high school, ang mga larawan ng kamangha-manghang pagiging kumplikado at kagandahan ay nakuha. Kapag ang mga personal na computer ay naging sapat na malakas, kahit na ang isang buong trend sa sining ay lumitaw - fractal painting, at halos anumang may-ari ng computer ay maaaring gawin ito. Ngayon sa Internet, madali mong mahahanap ang maraming mga site na nakatuon sa paksang ito.

Digmaan at Kapayapaan

Tulad ng nabanggit sa itaas, ang isa sa mga likas na bagay na may mga katangian ng fractal ay ang baybayin. Ang isang kawili-wiling kuwento ay konektado sa kanya, o sa halip, sa isang pagtatangka na sukatin ang haba nito, na naging batayan ng artikulong pang-agham ni Mandelbrot, at inilarawan din sa kanyang aklat na "The Fractal Geometry of Nature".

Ito ay isang eksperimento na itinanghal ni Lewis Richardson, isang napakatalino at sira-sirang mathematician, physicist at meteorologist. Isa sa mga direksyon ng kanyang pananaliksik ay isang pagtatangka upang mahanap ang isang matematikal na paglalarawan ng mga sanhi at posibilidad ng isang armadong labanan sa pagitan ng dalawang bansa. Kabilang sa mga parameter na kanyang isinasaalang-alang ay ang haba ng karaniwang hangganan ng dalawang naglalabanang bansa. Nang mangolekta siya ng data para sa mga numerical na eksperimento, nalaman niya na sa iba't ibang mapagkukunan ang data sa karaniwang hangganan sa pagitan ng Spain at Portugal ay ibang-iba.

Ito ang nag-udyok sa kanya upang matuklasan ang mga sumusunod: ang haba ng mga hangganan ng isang bansa ay nakasalalay sa pinuno kung saan namin sinusukat ang mga ito. Kung mas maliit ang sukat, mas mahaba ang hangganan. Ito ay dahil sa ang katunayan na sa isang mas mataas na pagpapalaki posible na isaalang-alang ang higit pa at higit pang mga liko sa baybayin, na dati ay hindi pinansin dahil sa pagkamagaspang ng mga sukat. At kung, sa bawat pagtaas ng sukat, ang dati nang hindi natukoy para sa mga liko ng mga linya ay magbubukas, kung gayon ito ay lumalabas na ang haba ng mga hangganan ay walang hanggan! Totoo, sa katotohanan hindi ito nangyayari - ang katumpakan ng aming mga sukat ay may hangganan. Ang paradox na ito ay tinatawag na Richardson effect.

Nakabubuo (geometric) fractals

Ang algorithm para sa pagbuo ng constructive fractal sa pangkalahatang kaso ay ang mga sumusunod. Una sa lahat, kailangan natin ng dalawang angkop na geometric na hugis, tawagin natin silang base at fragment. Sa unang yugto, ang batayan ng hinaharap na fractal ay inilalarawan. Pagkatapos ang ilan sa mga bahagi nito ay pinalitan ng isang fragment na kinuha sa isang angkop na sukat - ito ang unang pag-ulit ng konstruksiyon. Pagkatapos, muling binago ng resultang figure ang ilang bahagi sa mga figure na katulad ng isang fragment, at iba pa. Kung ipagpapatuloy natin ang prosesong ito nang walang katiyakan, pagkatapos ay sa limitasyon ay makakakuha tayo ng fractal.

Isaalang-alang natin ang prosesong ito gamit ang Koch curve bilang isang halimbawa. Bilang batayan para sa Koch curve, maaari kang kumuha ng anumang curve (para sa "Koch snowflake" ito ay isang tatsulok). Ngunit paghigpitan natin ang ating sarili sa pinakasimpleng kaso - isang segment. Ang isang fragment ay isang putol na linya na ipinapakita sa itaas sa figure. Pagkatapos ng unang pag-ulit ng algorithm, sa kasong ito, ang paunang segment ay mag-tutugma sa fragment, pagkatapos ang bawat isa sa mga bahagi ng nasasakupan nito ay papalitan ng putol na linya, katulad ng isang fragment, atbp. Ipinapakita ng figure ang unang apat na hakbang ng itong proseso.

Sa wika ng matematika: dynamic (algebraic) fractals

Ang mga fractals ng ganitong uri ay lumitaw sa pag-aaral ng mga nonlinear dynamical system (samakatuwid ang pangalan). Ang pag-uugali ng naturang sistema ay maaaring ilarawan ng isang kumplikadong nonlinear function (polynomial) f (z). Kumuha ng ilang panimulang punto z0 sa kumplikadong eroplano (tingnan ang sidebar). Ngayon isaalang-alang ang isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero sa kumplikadong eroplano, ang bawat isa sa mga sumusunod ay nakuha mula sa nauna: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Depende sa paunang puntong z0, maaaring magkaiba ang pagkilos ng naturang sequence: may posibilidad na infinity bilang n -> ∞; magtagpo sa ilang dulong punto; cyclically kumuha ng isang bilang ng mga nakapirming halaga; posible rin ang mas kumplikadong mga opsyon.

Mga kumplikadong numero

Ang isang kumplikadong numero ay isang numero na binubuo ng dalawang bahagi - tunay at haka-haka, iyon ay, ang pormal na kabuuan x + iy (dito ang x at y ay tunay na mga numero). ako ang tinatawag na. imaginary unit, ibig sabihin, isang numero na nakakatugon sa equation na i ^ 2 = -1. Ang mga pangunahing pagpapatakbo ng matematika ay tinukoy sa mga kumplikadong numero - karagdagan, pagpaparami, paghahati, pagbabawas (tanging ang operasyon ng paghahambing ay hindi tinukoy). Upang magpakita ng mga kumplikadong numero, madalas na ginagamit ang isang geometric na representasyon - sa eroplano (tinatawag itong kumplikado), ang tunay na bahagi ay inilalagay sa abscissa, at ang haka-haka na bahagi sa ordinate, habang ang kumplikadong numero ay tumutugma sa isang punto na may Cartesian. coordinate x at y.

Kaya, ang anumang punto z ng kumplikadong eroplano ay may sariling katangian ng pag-uugali sa panahon ng mga pag-ulit ng function na f (z), at ang buong eroplano ay nahahati sa mga bahagi. Sa kasong ito, ang mga puntong nakahiga sa mga hangganan ng mga bahaging ito ay may mga sumusunod na pag-aari: para sa isang di-makatwirang maliit na pag-aalis, ang likas na katangian ng kanilang pag-uugali ay nagbabago nang husto (ang mga nasabing punto ay tinatawag na mga punto ng bifurcation). Kaya, lumalabas na ang mga hanay ng mga punto na may isang partikular na uri ng pag-uugali, pati na rin ang mga hanay ng mga punto ng bifurcation, ay kadalasang may mga katangian ng fractal. Ito ang mga Julia set para sa function na f (z).

Pamilya ng mga dragon

Sa pamamagitan ng pag-iiba-iba ng base at fragment, maaari kang makakuha ng kamangha-manghang iba't ibang mga constructive fractals.

Bukod dito, ang mga katulad na operasyon ay maaaring isagawa sa tatlong-dimensional na espasyo. Ang mga halimbawa ng volumetric fractals ay ang Menger's sponge, Sierpinski pyramid at iba pa.

Ang pamilya ng dragon ay tinutukoy din bilang constructive fractals. Minsan tinawag sila sa pangalan ng mga natuklasan na "mga dragon ng Highway-Harter" (sa kanilang anyo ay kahawig nila ang mga dragon ng Tsino). Mayroong ilang mga paraan upang i-plot ang curve na ito. Ang pinakasimpleng at pinaka-intuitive sa kanila ay ito: kailangan mong kumuha ng sapat na mahabang strip ng papel (mas manipis ang papel, mas mabuti), at tiklupin ito sa kalahati. Pagkatapos ay ibaluktot muli ito ng dalawang beses sa parehong direksyon tulad ng sa unang pagkakataon.

Pagkatapos ng ilang pag-uulit (karaniwan ay pagkatapos ng lima o anim na tiklop, ang strip ay nagiging masyadong makapal upang maayos na ibaluktot pa), kailangan mong i-unbend ang strip pabalik, at subukang bumuo ng 90˚ anggulo sa mga fold. Pagkatapos ang curve ng dragon ay lalabas sa profile. Siyempre, ito ay magiging isang pagtatantya lamang, tulad ng lahat ng aming mga pagtatangka na ilarawan ang mga fractal na bagay. Ang computer ay nagbibigay-daan sa iyo upang ilarawan ang marami pang mga hakbang sa prosesong ito, at ang resulta ay isang napakagandang pigura.

Ang set ng Mandelbrot ay itinayo sa isang bahagyang naiibang paraan. Isaalang-alang ang function na fc (z) = z ^ 2 + c, kung saan ang c ay isang kumplikadong numero. Bumuo tayo ng sequence ng function na ito na may z0 = 0, depende sa parameter c, maaari itong mag-diverge sa infinity o manatiling may hangganan. Bukod dito, ang lahat ng mga halaga ng c kung saan ang pagkakasunud-sunod na ito ay nakatali sa Mandelbrot set. Ito ay pinag-aralan nang detalyado ni Mandelbrot mismo at iba pang mga mathematician, na natuklasan ang maraming mga kagiliw-giliw na katangian ng set na ito.

Nakikita na ang mga kahulugan ng Julia at Mandelbrot set ay magkatulad sa isa't isa. Sa katunayan, ang dalawang set na ito ay malapit na nauugnay. Ibig sabihin, ang set ng Mandelbrot ay ang lahat ng mga halaga ng kumplikadong parameter c kung saan ang set ng Julia fc (z) ay konektado (tinatawag na konektado ang isang set kung hindi ito maaaring hatiin sa dalawang magkahiwalay na bahagi, na may ilang karagdagang mga kondisyon).

Fractal at buhay

Ngayon, ang teorya ng fractals ay malawakang ginagamit sa iba't ibang larangan ng aktibidad ng tao. Bilang karagdagan sa isang purong pang-agham na bagay para sa pananaliksik at ang nabanggit na fractal painting, ang mga fractals ay ginagamit sa teorya ng impormasyon upang i-compress ang graphic na data (dito ang self-similarity property ng fractals ay pangunahing ginagamit - pagkatapos ng lahat, upang matandaan ang isang maliit na fragment ng isang pagguhit at mga pagbabagong-anyo kung saan maaari mong makuha ang natitirang bahagi ng mga bahagi, higit na mas mababa ang kinakailangang memorya kaysa sa pag-iimbak ng buong file).

Sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga random na perturbation sa mga formula na tumutukoy sa fractal, makakakuha ang isang tao ng stochastic fractal na napaka-masasabing naghahatid ng ilang mga tunay na bagay - mga elemento ng relief, ang ibabaw ng mga anyong tubig, ilang mga halaman, na matagumpay na ginagamit sa physics, heograpiya at computer graphics upang makamit ang mas malaki. pagkakatulad ng mga kunwa na bagay sa real. Sa electronics, ang mga antenna ay ginawa na may fractal na hugis. Gumagamit ng maliit na espasyo, nagbibigay sila ng medyo mataas na kalidad na pagtanggap ng signal.

Gumagamit ang mga ekonomista ng fractals upang ilarawan ang mga curve ng currency rate (isang ari-arian na natuklasan ni Mandelbrot). Ito ay nagtatapos sa maliit na iskursiyon na ito sa kamangha-manghang maganda at magkakaibang mundo ng mga fractals.